Question

設等比數列{a_n}滿足：S_n=2ⁿ+a（n∈N₊）．
（I）求數列{a_n}的通項公式，并求最小的自然數n，使a_n＞2010；
（II）數列{b_n}的通項公式為b_n=-，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（I）當n=1時，a₁=2+a當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（3分）
∵{a_n}為等比數列，
∴a₁=2+a=2^1-1=1，
∴a=-1
∴{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1（5分）
令2^n-1＞2010，又n∈N₊，
∴n≥12．
∴最小的自然數n=12（7分）
（II），①（9分）②
②-①得，
∴（14分）
分析：（I）a₁=2+a，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，{a_n}為等比數列，能導出其通項公式為a_n=2^n-1．令2^n-1＞2010，又n∈N₊，由此能求出最小的自然數n=12．
（II），，再由錯位相減法可求出T_n．
點評：本題考查數列的通項公式的求法和數列的求和，解題時要認真挖掘題設中的隱含條件，合理求解．