Question

【題目】已知函數f（x）＝4cosxsin（x）+a的最大值為2.

（1）求實數a的值；

（2）在給定的直角坐標系上作出函數f（x）在[0，π]上的圖象：

（3）求函數f（x）在[，]上的零點，

Answer 1

【答案】（1）；（2）作圖見解析；（3）零點為和.

【解析】

（1）利用正弦的和角公式，以及輔助角公式化簡為標準型正弦函數，根據其最大值，即可求得參數；

（2）根據（1）中所求，列表、描點，即可求得函數在區間上的圖象；

（3）求出在上的零點，再與取交集即可求得結果.

（1）f（x）＝4cosxsin（x）+a＝4cosx（sinxcosx）+a

＝2sinxcosx+2cos2x+a

sin2x+cos2x+a+1＝2sin（2x）+a+1

則f（x）的最大值為2+a+1＝2，得a＝﹣1.

（2）由（1）可得

列表如下：

用“五點法”畫出函數f（x）在區間[0，π]的簡圖，如圖所示；

（3）由得2xkπ，k∈Z，

則x，k∈Z，

由，得，即k＝0或k＝1，

當k＝0時，x，當k＝1時，x，

即函數在[,]上的零點為和.