Question

（本題滿分16分）已知函數，．
（1）當時，若上單調遞減，求a的取值范圍；
（2）求滿足下列條件的所有整數對：存在，使得的最大值， 的最小值；
（3）對滿足（2）中的條件的整數對，試構造一個定義在且 上的函數：使，且當時，．

Answer 1

（1）a的取值范圍是
（2）滿足條件的整數對是
（3）

（1）當時，，………………………………………………1分
若，，則在上單調遞減，符合題意；………3分
若，要使在上單調遞減，
必須滿足 ……………………………………………………………………5分
∴．綜上所述，a的取值范圍是 …………………………………6分
（2）若，，則無最大值，………………………7分
故，∴為二次函數，
要使有最大值，必須滿足即且，…8分
此時，時，有最大值．………………………………………分
又取最小值時，，………………………………………………………分
依題意，有，則，…………分
∵且，∴，得，………………分
此時或．
∴滿足條件的整數對是．……………………………12分
（3）當整數對是時，
，是以2為周期的周期函數，………………………分
又當時，,構造如下：當，則，
，
故…