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【題目】已知函數，若在定義域內存在，使得成立，則稱為函數的局部對稱點.

（1）若、且，證明：函數必有局部對稱點；

（2）若函數在區間內有局部對稱點，求實數的取值范圍；

（3）若函數在上有局部對稱點，求實數的取值范圍.

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】

（1）根據定義轉化為方程，根據證明方程有解得結果；

（2）根據定義轉化為方程，利用變量分離轉化為求對應函數值域，即得結果；

（3）根據定義轉化為方程，利用換元轉化為對應一元二次方程有解問題，再根據實根分布求結果.

（1）由題意得

根據定義可得函數必有局部對稱點；

（2）因為函數在區間內有局部對稱點，

所以，即在區間內有解，

設，則在單調遞增，在上單調遞減，所以

（3）因為函數在上有局部對稱點，

所以在上有解，

設，則，即在上有解，所以或，

或，即得

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）求的單調區間；

（2）若，求的取值范圍.

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【題目】己知函數f（x）對x∈R均有f（x）+2f（﹣x）＝mx﹣6，若f（x）≥lnx恒成立，則實數m的取值范圍是_________.

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【題目】某城市的華為手機專賣店對該市市民使用華為手機的情況進行調查.在使用華為手機的用戶中，隨機抽取100名，按年齡(單位:歲）進行統計的頻率分布直方圖如圖：

（1）根據頻率分布直方圖，分別求出樣本的平均數（同一組數據用該區間的中點值作代表)和中位數的估計值(均精確到個位）；

（2）在抽取的這100名市民中，按年齡進行分層抽樣，抽取20人參加華為手機宣傳活動，現從這20人中，隨機選取2人各贈送一部華為手機，求這2名市民年齡都在內的人數為，求的分布列及數學期望.

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【題目】已知函數，若點在的圖像上運動，則點在的圖象上運動

（1）求的最小值，及相應的值

（2）求函數的解析式，指出其定義域，判斷并證明在上的單調性

（3）在函數和的圖象上是否分別存在點關于直線對稱，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由

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【題目】如圖，射線和均為筆直的公路，扇形區域（含邊界）是一蔬菜種植園，其中、分別在射線和上.經測量得，扇形的圓心角（即）為、半徑為1千米.為了方便菜農經營，打算在扇形區域外修建一條公路，分別與射線、交于、兩點，并要求與扇形弧相切于點.設（單位：弧度），假設所有公路的寬度均忽略不計.

（1）試將公路的長度表示為的函數，并寫出的取值范圍；

（2）試確定的值，使得公路的長度最小，并求出其最小值.

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【題目】設集合均為實數集的子集，記.

(1)已知，試用列舉法表示；

(2)設，當且時，曲線的焦距為，如果，，設中的所有元素之和為，求的值；

（3）在（2）的條件下，對于滿足，且的任意正整數，不等式恒成立， 求實數的最大值.

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【題目】在平面直角坐標系中，已知是曲線：上的動點，將繞點順時針旋轉得到，設點的軌跡為曲線.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線，的極坐標方程；

（2）在極坐標系中，點，射線與曲線，分別相交于異于極點的兩點，求的面積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

(Ⅰ) 求函數的單調區間；

(Ⅱ) 當時，求函數在上最小值.

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