Question

已知函數

   （1）若的極值點，求實數a的值；

   （2）若上為增函數，求實數a的取值范圍；

   （3）當有實根，求實數b的最大值。

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。主要是極值的概念和根據單調區間，求解參數的取值范圍，以及利用函數與方程的思想求解參數b的最值。

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）……1分

因為為的極值點，所以

即，解得，又當時，，從而為的極值點成立�！�………2分

（2）因為在區間上為增函數，所以在區間上恒成立�！�………3分

①當時，在區間上恒成立，在區間上為增函數，符合題意�！�………4分

②當時，由函數的定義域可知，必有對成立，

故只能…………5分

故對恒成立

令，其對稱軸為

從而要使對恒成立，只要即可…………6分

   解得：

，故

綜上所述，實數的取值范圍為…………7分

（3）若時，方程可化為，．

問題轉化為在上有解，

即求函數的值域．………………………………8分

以下給出兩種求函數值域的方法：

解法一：，令

則…………9分

所以當時，，從而在上為增函數

當時，，從而上為減函數

因此…………10分

而，故…………11分

因此當時，取得最大值………12分

解法二：因為，所以

設，則………9分

當時，，所以在上單調遞增

當時，，所以在上單調遞減

因為，故必有，又…10分

因此必存在實數使得

當時，，所以在上單調遞減；

當時，，所以在上單調遞增

當時，，所以在上單調遞減………11分

又因為

當時，，則，又

因此當時，取得最大值