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【題目】已知拋物線，圓.

（1）若拋物線的焦點在圓上，且為 和圓 的一個交點，求；

（2）若直線與拋物線和圓分別相切于點，求的最小值及相應的值.

【答案】（1）；（2）的最小值為，此時.

【解析】

試題分析：（1）首先求得焦點的坐標，由此求得拋物線的方程，然后聯立拋物線與圓的方程求得，最后利用拋物線的定義求得的長；（2）設，由此設出直線切線的方程，然后根據求得與的關系式，從而求得關于的關系式，進而利用基本不等式求得其最小值，以及的值.

試題解析：（1）由題意得F(1，0)，從而有C：x2＝4y.

解方程組，得yA＝－2，所以|AF|＝－1. …5分

（2）設M(x0，y0)，則切線l：y＝(x－x0)＋y0，

整理得x0x－py－py0＝0. …6分

由|ON|＝1得|py0|＝＝，

所以p＝且y－1＞0， …8分

所以|MN|2＝|OM|2－1＝x＋y－1＝2py0＋y－1

＝＋y－1＝4＋＋(y－1)≥8，當且僅當y0＝時等號成立，

所以|MN|的最小值為2，此時p＝. …12分

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中,圓經過伸縮變換后得到曲線,相互垂直的直線過定點與曲線相交于兩點, 與曲線相交于兩點.

(1)求曲線的直角坐標方程；

(2)求的最小值.

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【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，在底面ABCD中，AD//BC,AD⊥CD，Q是AD的中點，M是棱PC的中點，PA=PD=2,BC=AD=1,CD=,PB=．

（Ⅰ）求證：平面PAD⊥底面ABCD；

（Ⅱ）試求三棱錐B-PQM的體積．

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【題目】某社區為了解居民參加體育鍛煉的情況，從該社區隨機抽取了18名男性居民和12名女性居民，對他們參加體育鍛煉的情況進行問卷調查.現按是否參加體育鍛煉將居民分成兩類：甲類（不參加體育鍛煉）、乙類（參加體育鍛煉），結果如下表：

甲類

乙類

男性居民

3

15

女性居民

6

6

（Ⅰ）根據上表中的統計數據，完成下面的列聯表；

男性居民

女性居民

總計

不參加體育鍛煉

參加體育鍛煉

總計

（Ⅱ）通過計算判斷是否有90%的把握認為參加體育鍛煉與否與性別有關？

附：，其中.

0.10

0.05

0.01

2.706

3.841

6.635

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【題目】【2018湖南（長郡中學、株洲市第二中學）、江西（九江一中）等十四校高三第一次聯考】已知函數（其中且為常數， 為自然對數的底數， ）．

（Ⅰ）若函數的極值點只有一個，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）當時，若（其中）恒成立，求的最小值的最大值．

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【題目】已知函數有如下性質：如果常數，那么該函數在上是減函數，在上是增函數．

（1）已知函數，利用上述性質，求函數的單調區間和值域；

（2）已知函數＝和函數，若對任意，總存在，使得(x2)＝成立，求實數的值．

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【題目】本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費,超過兩小時的部分每小時收費標準為2元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次),設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為;兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為;兩人租車時間都不會超過四小時.

(1)求出甲、乙兩人所付租車費用相同的概率;

(2)求甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元時的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某糕點房推出一類新品蛋糕，該蛋糕的成本價為4元，售價為8元．受保質期的影響，當天沒有銷售完的部分只能銷毀．經過長期的調研，統計了一下該新品的日需求量．現將近期一個月（30天）的需求量展示如下：

日需求量x（個）

20

30

40

50

天數

5

10

10

5

（1）從這30天中任取兩天，求兩天的日需求量均為40個的概率．

（2）以上表中的頻率作為概率，列出日需求量的分布列，并求該月的日需求量的期望．

（3）根據（2）中的分布列求得當該糕點房一天制作35個該類蛋糕時，對應的利潤的期望值為；現有員工建議擴大生產一天45個，求利用利潤的期望值判斷此建議該不該被采納．

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【題目】如圖，已知點是圓心為半徑為的半圓弧上從點數起的第一個三等分點，點是圓心為半徑為的半圓弧的中點，、分別是兩個半圓的直徑，，直線與兩個半圓所在的平面均垂直，直線、共面.

（1）求三棱錐的體積；

（2）求直線與所成角的余弦值.

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