Question

已知側棱垂直于底面的三棱柱CDE-C₁D₁E₁的頂點都在同一球面上，在△CDE中，∠DCE=60°，CD=5，CE=4，該球的體積為

256π

3

，則三棱錐C₁-CDE的體積為（　�。�

• A．5

  3

• B．10

  3

• C．30

  3

• D．20

  3

Answer 1

分析：根據球的體積求出半徑R，再由余弦定理和△CDE中的數據求出DE，由正弦定理求出△CDE的外接圓的半徑r，再由勾股定理求出CC₁，代入柱體的體積公式求解．

解答：解：設△CDE的外接圓的半徑為r，球的半徑為R，
∵球的體積為

256π

3

，
∴

256π

3

=

4πR2

3

，解得R=4，
∵在△CDE中，∠DCE=60°，CD=5，CE=4，
∴DE²=CE²+CD²-2CE×CD×cos∠DCE
=16+25-2×4×5×cos60°=21，
則DE=

21

，
由正弦定理得，2r=

DE

sin∠DCE

=

21

sin60°

=2

7

，解得r=

7

，
∴CC₁=2

R2-r2

=6，
則三棱錐C₁-CDE的體積V=

1

3

×S△DCE×CC1
=

1

3

×

1

2

×4×5sin60°×6
=10

3

，
故選B．

點評：本題考查球的體積、棱柱的體積，余弦（正弦）定理在解三角形中的應用，考查學生的計算能力和空間想象能力，屬于中檔題．