Question

在一定面積的水域中養殖某種魚類，每個網箱的產量p是網箱個數x的一次函數，即p（x）=kx+b（k≠0）．如果放置4個網箱，則每個網箱的產量為16噸；如果放置7個網箱，則每個網箱的產量為10噸．由于該水域面積限制，最多只能放置10個網箱．
（Ⅰ）求p（x），并說明放置多少個網箱時，總產量Q達到最高，最高為多少？
（Ⅱ）若魚的市場價為

1

4

萬元/噸，養殖的總成本為5lnx+1萬元，則應放置多少個網箱才能使總收益y最高？（注：不必求出y的最大值）

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出一次函數，利用如果放置4個網箱，則每個網箱的產量為16噸；如果放置7個網箱，則每個網箱的產量為10噸，求出函數解析式，即可求得總產量函數，再利用配方法，即可求得最大值；
（Ⅱ）確定總收益函數，求導函數，確定函數的單調性，從而可得函數的極值，即是最值；

解答：解：（Ⅰ）設p=kx+b，由已知得

16=4k+b 10=7k+b

，∴

k=-2 b=24

∴p=-2x+24
∴Q=px=（-2x+24）x=-2（x-6）²+72（x∈N₊，x≤10）
∴當x=6時，f（x）最大
即放置6個網箱時，可使綜產量達到最大，最高為72噸；
（Ⅱ）總收益y=(-2x2+24x)×

1

4

-(5lnx+1)=-

1

2

x2+6x-5lnx-1（x∈N^*，且x≤10）
y′=-x+6-

5

x

=

-x2+6x-5

x

=

-(x-1)(x-5)

5

令y'=0，解得x=1或x=5
當變化x時，可得y及y'的變化情況如下表：

x	（1，5）	5	（5，10）
y'	+	0	-
y	↗	極大值	↘

由表知，當x=5時，y取得極大值，也就是最大值．
∴放置5個網箱時，可使總收益y最高．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數模型的構建，解題的關鍵是建立函數模型，利用導數求最值．