Question

對于函數f（x），若f（x）=x，則稱x為f（x）的“不動點”；若f[f（x）]=x，則稱x為f（x）的“周期點”，函數f（x）的“不動點”和“周期點”的集合分別記為A和B即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）=x]}．
（1）求證：A⊆B
（2）若f（x）=ax²-1（a∈R，x∈R），且A=B≠∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）分A=∅和A≠∅的情況，然后根據所給“不動點”和“穩定點”的定義來證明．
（II）理解A=B時，它表示方程ax²-1=x與方程a（ax²-1）²-1=x有相同的實根，根據這個分析得出求出a的值．

解答：證明：（1）?x∈A，即f（x）=x．
則有f[f（x）]=f（x）=x，x∈B
∴A⊆B
（2）∵f（x）=ax²-1
∴f[f（x）]=a（ax²-1）²-1
若f[f（x）]=x，則a（ax²-1）²-1-x=0a（ax²-1）²-1-x=a（ax²-1）²-ax²+ax²-x-1=a[（ax²-1）²-x²]+ax²-x-1=a（ax²-x-1）（ax²+x-1）+ax²-x-1=（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）
∴B={x|（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）=0}A={x|ax²-x-1=0}
當a=0時，A={-1}，B={-1}，A=B≠∅
∴a=0符合題意
當a≠0時，當A=B≠∅時，方程ax²-x-1=0有實根；對方程a²x²+ax-a+1=0根的情況進行分類討論：
①若方程a²x²+ax-a+1=0有兩個不相等的實根，則

1+4a＞0 a2-4a2(1-a)＞0 a≠0

此時a＞

3

4

．此時兩個方程沒有公共解，集合B中有四個元素．不合題意，舍去．
②若方程a²x²+ax-a+1=0有兩個相等的實根，則
∴

1+4a≥0 a2-4a2(1-a)=0 a≠0

解得a=

3

4

．此時方程ax²-x-1=0的兩根分別為-

2

3

 ，  2；a²x²+ax-a+1=0的實根為x1=x2=-

2

3

．驗證得：A=B={-

2

3

 ，  2}．
③若方程a²x²+ax-a+1=0無實根，此時A=B．則

1+4a≥0 a2-4a2(1-a)＜0 a≠0

解得：-

1

4

≤a＜

3

4

且a≠0．
從而所求a的取值范圍為{a|-

1

4

≤a≤

3

4

}．

點評：本題考查對新概念的理解和運用的能力，同時考查了集合間的關系和方程根的相關知識，解題過程中體現了分類討論的數學思想，屬中檔題．