Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2x|x﹣a|（其中a∈R）．
（1）當a=1時，求函數f（x）的值域；
（2）若y=f（x）在[0，2]上的最小值為﹣1，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）=x2﹣2x|x﹣1|

= ，

當x≥1時，f（x）遞減，可得f（x）∈（﹣∞，1]；

當x＜1時，f（x）∈[﹣ ，+∞）．

則函數f（x）的值域（﹣∞，+∞）

（2）解： ，

①當a≤0時，f（x）在（0，2）上為減函數，

故 ，

可得 ，不符．

②當a＞0時，可知f（x）在 上為減函數，在 上為增函數．

（i）當 時， ，得 ，不符；

（ii）當 時， ，得 ，不符；

（iii）當a≤2時， 或

得 或 ，符合．

綜上所述 或

【解析】（1）求出a=1時，f（x）的解析式，討論x的范圍，求得二次函數的值域，進而得到所求；（2）求出f（x）的分段函數式，討論a的范圍，結合二次函數的單調性，可得最小值，進而得到a的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．