Question

【題目】（本題滿分12分）如圖， 是圓的直徑，點是圓上異于的點， 垂直于圓所在的平面，且．

（Ⅰ）若為線段的中點，求證平面；

（Ⅱ）求三棱錐體積的最大值；

（Ⅲ）若，點在線段上，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）．

【解析】解法一：（Ⅰ）在中，因為， 為的中點，

所以．又垂直于圓所在的平面，所以．

因為，所以平面．

（Ⅱ）因為點在圓上，

所以當時， 到的距離最大，且最大值為．

又，所以面積的最大值為．

又因為三棱錐的高，故三棱錐體積的最大值為．

（Ⅲ）在中， ， ，所以．

同理，所以．

在三棱錐中，將側面繞旋轉至平面，使之與平面共面，如圖所示．

當， ， 共線時， 取得最小值．

又因為， ，所以垂直平分，

即為中點．從而，

亦即的最小值為．

解法二：（Ⅰ）、（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）在中， ， ，

所以， ．同理．

所以，所以．

在三棱錐中，將側面繞旋轉至平面，使之與平面共面，如圖所示．

當， ， 共線時， 取得最小值．

所以在中，由余弦定理得：

．

從而．

所以的最小值為．