Question

已知關于x的方程x²+2kx+k²+k+3=0的兩根分別是x₁、x₂，則（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值是

-

9

2

．

Answer 1

分析：由根與系數關系得出x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=k²+k+3，再將（x₁-1）²+（x₂-1）²化簡為(x1+x2)2-2x1x2-2(x1+x2)+2，代入可得．

解答：解：∵關于x的方程x²+2kx+k²+k+3=0的兩根分別是x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=k²+k+3，
（x₁-1）²+（x₂-1）²=x12+x22-2(x1+x2)+2
=(x1+x2)2-2x1x2-2(x1+x2)+2
=（-2k）²-2（k²+k+3）-2（-2k）+2
=2k²+2k-4=2(k+

1

2

)2-

9

2

≥-

9

2

故答案為：-

9

2

點評：本題考查根與系數的關系和配方法的應用，根與系數的關系是數學中的重點內容，此題進行配方是解決問題的關鍵．