Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，且點（a_n，a_n+1）在函數f（x）=x+2的圖象上（n∈N^*）．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）在數列{a_n}中依次取出第1項，第2項，第4項，第8項，…，第2^n-1項，按取出順序組成新的數列{b_n}，寫出數列{b_n}的前三項b₁，b₂，b₃，并求數列{b_n}的通項b_n及前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得a_n+1-a_n=2，從而得到數列{a_n}為等差數列，代入等差數列的通項公式可得a_n．
（Ⅱ）由題意得bn=2ⁿ-1觀察通項公式可知采用分組求和，再分別代入等比數列及等差數列的求和公式．

解答：解：（Ⅰ）∵點（a_n，a_n+1）在函數f（x）=x+2的圖象上，
∴a_n+1=a_n+2．（2分）．
∴a_n+1-a_n=2，即數列a_n是以a₁=1為首項，2為公差的等差數列，（4分）．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）
（Ⅱ）依題意知：b₁=1，b₂=3，b₃=7
bn=2•2^n-1-1=2ⁿ-1
所以S_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=2ⁿ⁺¹-n-2
  即數列{b_n}的前n項和S_n=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-n-2

點評：主要考查等差數列同項公式的求解，屬于公式的基本運用．求數列的前n項和的關鍵是求出通項，從而分別利用等差數列及等比數列的求和公式代入求值．