Question

已知函數f(x)＝－x³－ax²＋b²x＋1(a、b∈R)．
(1)若a＝1，b＝1，求f(x)的極值和單調區間；
(2)已知x₁，x₂為f(x)的極值點，且|f(x₁)－f(x₂)|＝|x₁－x₂|，若當x∈[－1,1]時，函數y＝f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒小于m，求m的取值范圍

Answer 1

(1)f(x)＝－x³－x²＋x＋1，f′(x)＝－3x²－2x＋1
＝－(3x－1)(x＋1).

x	(－∞，－1)	－1	(－1，)		(，＋∞)
f′(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	減	極小 值0	增	極大 值	減

f(x)的極大值為，極小值為0.
f(x)的單調增區間為，單調減區間為(－∞，－1)，.
(2)∵f(x)＝－x³－ax²＋b²x＋1，
∴f′(x)＝－3x²－2ax＋b²，又x₁，x₂為f(x)的極值點，
∴x₁，x₂為方程－3x²－2ax＋b²＝0的兩根，
x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝－，
∵|f(x₁)－f(x₂)|＝|x₁－x₂|，
∴|－x－ax＋b²x₁＋1＋x＋ax－b²x₂－1|＝|x₁－x₂|，
整理得|x＋x₁x₂＋x＋a(x₁＋x₂)－b²|＝，
即＝，
∴a²＋3b²＝1，∴a²≤1.
∵k＝f′(x)＝－3x²－2ax＋b²＝－3x²－2ax＋，
f′(x)_max＝f′＝，
∴m＞.

略