Question

【題目】設是大于1的自然數，找出所有自然數，使得對于存在互質的自然數、，滿足.

Answer 1

【答案】

【解析】

先證明一個引理.

引理 設、、、、，且滿足.若是大于1的奇數， 是奇質數，則可以表示成的以自然數為指數的冪.

引理的證明：設為、的最大公約數，可設.由已知條件有.

因此，存在某個非負整數，滿足.

由于是奇數，故有.

用表示等式右端的數.由于，所以，與中至少有一個大于1.而，因此，.由式①推出.

因為且，所以，它們都能被整除，且存在某個自然數，使得.這樣，

（是某個整數）.

因為，且，于是.

設，則，即.

如果，同上面證明一樣，可以證明可被整除.如果，則；這樣重復下去，便可推出，存在某個自然數，有.

下面證明本題的結論：的可能值只有2.

設，其中，不妨設.由于，，顯然且.討論如下：

（1）若是偶數，則.

于是，不是3的整數次冪，矛盾.

（2）若是奇數，且，則.于是，.以下證明.

由引理知.取，代入后，可以認為.于是，，即證明.

由于，則.

因此，.

于是，得證.

由，推出.

而且. ②

如果②中至少有一個不等號是嚴格不等號，那么，.由推出矛盾.可見，.

那么，，且.故是惟一滿足條件的值.