Question

（2012•黑龍江）如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=

1

2

AA₁，D是棱AA₁的中點．
（Ⅰ）證明：平面BDC₁⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC₁分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意易證DC₁⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可證得平面BDC₁⊥平面BDC；
（Ⅱ）設棱錐B-DACC₁的體積為V₁，AC=1，易求V₁=

1

3

×

1+2

2

×1×1=

1

2

，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=1，于是可得（V-V₁）：V₁=1：1，從而可得答案．

解答：證明：（1）由題設知BC⊥CC₁，BC⊥AC，CC₁∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，又DC₁?平面ACC₁A₁，
∴DC₁⊥BC．
由題設知∠A₁DC₁=∠ADC=45°，
∴∠CDC₁=90°，即DC₁⊥DC，又DC∩BC=C，
∴DC₁⊥平面BDC，又DC₁?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）設棱錐B-DACC₁的體積為V₁，AC=1，由題意得V₁=

1

3

×

1+2

2

×1×1=

1

2

，
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=1，
∴（V-V₁）：V₁=1：1，
∴平面BDC₁分此棱柱兩部分體積的比為1：1．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，著重考查線面垂直的判定定理的應用與棱柱、棱錐的體積，考查分析，表達與運算能力，屬于中檔題．