Question

已知函數（a＞0，a≠1）是奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并給出證明；
（3）當x∈（n，a-2）時，函數f（x）的值域是（1，+∞），求實數a與n的值．

Answer 1

解：（1）∵函數（a＞0，a≠1）是奇函數．
∴f（-x）+f（x）=0解得m=-1．
（2）由（1）及題設知：，
設，
∴當x₁＞x₂＞1時，
∴t₁＜t₂．
當a＞1時，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴當a＞1時，f（x）在（1，+∞）上是減函數．
同理當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上是增函數．

（3）由題設知：函數f（x）的定義域為（1，+∞）∪（-∞，-1），
∴①當n＜a-2≤-1時，有0＜a＜1．由（1）及（2）題設知：f（x）在為增函數，由其值域為（1，+∞）知（無解）；
②當1≤n＜a-2時，有a＞3．由（1）及（2）題設知：f（x）在（n，a-2）為減函數，由其值域為（1，+∞）知
得，n=1．
分析：（1）根據奇函數的定義可知f（-x）+f（x）=0，建立關于m的等式關系，解之即可；
（2）先利用函數單調性的定義研究真數的單調性，討論a的取值，然后根據復合函數的單調性進行判定；
（3）先求函數的定義域，討論（n，a-2）與定義域的關系，然后根據單調性建立等量關系，求出n和a的值．
點評：本題主要考查了函數的奇偶性，以及函數的單調性和值域問題，屬于基礎題．