Question

已知幾何體A-BCED的三視圖、直觀圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．
（1）求此幾何體A-BCED的體積V的大�。�
（2）求二面角A-ED-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由三視圖可知，AC=BC=CE=4，BD=2，且AC、BC、CE兩兩互相垂直．代入棱錐體積公式，可得答案．
（2）過C作CG⊥DE交DE于G，連AG．可得∠AGC為二面角A-ED-B的平面角，解△ACG可得答案
（2）坐標法：分別求出平面BDE的一個法向量和平面ADE的一個法向量，代入向量夾角公式，可得二面角A-ED-B的余弦值．

解答：解：（1）由三視圖可知，AC=BC=CE=4，BD=2，
且AC、BC、CE兩兩互相垂直．
∴幾何體A-BCED的體積
V=

1

3

•SBCED•AC=16（6分）
（2）AC⊥平面BCE，
過C作CG⊥DE交DE于G，連AG．
可得DE⊥平面ACG，從而AG⊥DE
∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角． （10分）
在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=

8 5

5

，
∴AG=

42+( 8 5 5 )2

=

12

5

5

．
∴cos∠AGC=

CG

AG

=

2

3

．
∴二面角A-ED-B的余弦值為

2

3

． （14分）
方法二：（坐標法）
（2）平面BDE的一個法向量為

CA

=(4，0，0)，（8分）
設平面ADE的一個法向量為

n

=(x，y，z)，

n

⊥

AD

，

n

⊥

DE

，
∵

AD

=(-4，4，2)，

DE

=(0，-4，2)，
∴

n

•

AD

=0，

n

•

DE

=0
從而-4x+4y+2z=0，-4y+2z=0，
令y=1，則

n

=(2，1，2)，（12分）
顯然二面角A-ED-B是銳二面角，設其平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

CA

，

n

＞|=

2

3

∴二面角A-ED-B的余弦值為

2

3

．（14分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，棱錐的體積公式，根據三視圖判斷出幾何體的形狀及棱長是解答（1）的關鍵，（2）中求二面角思路有幾何法：求出二面角的平面角，將求空間角轉化為解三角形問題，向量法：構造空間直角坐標系，將二面角問題轉化為法向量夾角問題．