【題目】如圖，在三棱錐
中， 
， 
， 
為
的中點.
（1）求證： 
；
（2）設平面
平面
， 
， 
，求二面角
的平面角的正弦值.
【答案】（1）見解析;（2）
.
【解析】試題分析：
(1)由題意可得證得
平面
，然后利用線面垂直的判斷定理即可證得
；
(2)由題意建立空間直角坐標系，結合平面的法向量可得面角
的平面角的正弦值是
.
試題解析：
（1）設
中點為
，連接
， 
，
因為
，所以
，
又
為
的中點，
所以
.
因為
，所以
，
因為
，所以
平面
，又
平面
，
所以
（2）由（1）知
，
因為平面
平面
，平面
平面
， 
平面
，
所以
平面
，又
.
以
為坐標原點，分別以
， 
， 
為
軸， 
軸， 
軸的正方向建立空間直角坐標系
，如圖所示，
因為
， 
， 
，所以
，
由
為
中點， 
， 
，得
， 
，
則， 
， 
， 
， 
， 
， 
設平面
的一個法向量為
，
由
，即
取
，可得
，
因為平面
平面
，平面
平面
， 
平面
，
所以
平面
，所以平面
的一個法向量為
，
∴
，
設二面角
的大小為
，則
所以
，
∴二面角
的平面角的正弦值為
.
開心蛙狀元測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，以坐標原點為極點， 
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓
的極坐標方程為
.
（1）求出圓
的直角坐標方程；
（2）已知圓
與
軸相交于
， 
兩點，直線
： 
關于點
對稱的直線為
.若直線
上存在點
使得
，求實數
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
,設點
,且
=2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知四邊形MNPQ的四個頂點均在曲線C上,且MQ∥NP,MQ⊥x軸,若直線MN和直線QP交于點S(4,0)．判斷四邊形MNPQ兩條對角線的交點是否為定點？若是,求出定點坐標；若不是,請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某廠生產某種產品x（百臺），總成本為C（x）（萬元），其中固定成本為2萬元，每生產1百臺，成本增加1萬元，銷售收入 
（萬元），假定該產品產銷平衡．
（1）若要該廠不虧本，產量x應控制在什么范圍內？
（2）該廠年產多少臺時，可使利潤最大？
（3）求該廠利潤最大時產品的售價．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2 
，AD=2，求四邊形ABCD繞AD旋轉一周所成幾何體的表面積及體積． 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，函數
.
（1）當
時，解不等式
；
（2）若關于
的方程
的解集中恰有一個元素，求
的取值范圍；
（3）設
，若對任意
，函數
在區間
上的最大值與最小值的差不超過1，求
的取值范圍.
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