Question

已知數列{an}滿足an+1=

a 2 n +9

2an

，a1＞3
（1）求證a_n＞3；      
（2）比較a_n，a_n+1的大小，并證明
（3）是否存在m∈N⁺，使得（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）²？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用數學歸納法證明即可
（2）要判斷a_n，a_n+1的大小，只要檢驗a_n+1-a_n

an2+9

2an

-a_n=與0的大小即可
（3）假設存在使題設成立的正整數m，則由（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）²及a_m-3=2a_m+1，可求a_m，檢驗是否滿足a_m＞3

解答：（1）證明：①當n=1時不等式成立．
②假設當n=k時不等式成立，即a_k＞3，則ak+1=

ak2+9

2ak

＞

2ak•3

2ak

=3
即當n=k+1時不等式仍成立．
根據①②對任何n∈N^*，都有a_n＞3．…（4分）
（2）∵a_n+1-a_n=

an2+9

2an

-a_n=

9-an2

2an

＜0，
∴a_n+1＜a_n，n∈N^*，…（7分）
（3）假設存在使題設成立的正整數m，則
（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）²
即（a_m-3）•

(am+1-3)2

2am+1

=（a_m+1-3）²，
∴a_m-3=2a_m+1，
從而a_m=-3，這不可能．
故不存在m∈N^*，使得（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）²．…（11分）

點評：本題主要考查了利用數學歸納法證明數學命題，利用作差法比較兩個式子的大小及存在性命題的解決，屬于數列知識的綜合應用