Question

已知函數在上的最小值為，，是函數圖像上的兩點，且線段的中點P的橫坐標為.

   （1）求證：點P的縱坐標是定值;

   （2）若數列的通項公式為, 求數列的前m項和；

   （3）設數列滿足:，設，

若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數n, 恒成立, 試求m的最大值.

Answer 1

解：（1）當時，在上單調遞減，又的最小值為，

∴，得t=1 ;

當時，在上單調遞增，又的最小值為，

∴，得t=2（舍） ;

當t = 0時，（舍），

∴t = 1, .

∵ ∴，

∴，即p點的縱坐標為定值。

   （2）由(1)可知, , 所以,

即

由, … ① 

得 …②

由①＋②, 得

∴ 

   （3） ∵, ……③ 

∴對任意的. ……④

由③、④, 得 即.

∴.

∵

∴數列是單調遞增數列.

∴關于n遞增. 當, 且時, .

∵

∴∴即

∴ ∴m的最大值為6.