已知數列中,
,且
.
(Ⅰ) 求數列的通項公式;
(Ⅱ) 令,數列
的前
項和為
,試比較
與
的大;
(Ⅲ) 令,數列
的前
項和為
.求證:對任意
,
都有 .
(Ⅰ) (Ⅱ)當
時,
;當
時,
;
當時,
. (Ⅲ) 見解析
(Ⅰ)由題知,
,
由累加法,當時,
代入,得
時,
又,故
. ................4分
(II)時,
.
方法1:當時,
;當
時,
;
當時,
.
猜想當時,
. ................6分
下面用數學歸納法證明:
①當時,由上可知
成立;
②假設時,上式成立,即
.
當時,左邊
,所以當
時成立.
由①②可知當
時,
.
綜上所述:當時,
;當
時,
;
當時,
. ...............10分
方法2:
記函數
所以 .........6分
則
所以.
由于,此時
;
,此時
;
,此時
;
由于,,故
時,
,此時
.
綜上所述:當時,
;當
時,
. ...........10分
(III)
當時,
所以當時
+.
且
故對,
得證. .................14分
科目:高中數學 來源:2015屆云南省高一下學期期中考試數學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知數列中, a2=7,且an =an+1-6(n∈
),則前n項和Sn=" (" )
A. B. n2 C.
D.3n2
–2n
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