Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）設，為函數的兩個極值點，求證．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數的單調遞增區間，，單調遞減區間；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）先求得函數的導數，然后結合導數與單調性的關系，即可求得函數的單調區間；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，構造新函數，，轉化為求解的范圍問題，結合導數及函數性質可求．

（Ⅰ）由題意，函數的定義域，

且，

當或時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減，

故函數的單調遞增區間，，單調遞減區間；

（Ⅱ）不妨設，則由（1）可知，，

所以

，

令（其中），則，

可得，即在上單調遞減，

且，，

故存在使得，即，

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

故當時，取得最大值

，

因為，結合二次函數的性質可知，當時，，

故，

所以，即．