Question

如圖所示，某學校的教學樓前有一塊矩形空地ABCD，其長為32米，寬為18米，現要在此空地上種植一塊矩形草坪，三邊留有人行道，人行道寬度為a米與b米均不小于2米，且要求“轉角處（圖中矩形AEFG）”的面積為8平方米
（1）試用a表示草坪的面積S（a），并指出a的取值范圍
（2）如何設計人行道的寬度a、b，才能使草坪的面積最大？并求出草坪的最大面積．
（3）直接寫出（不需要給出演算步驟）草坪面積的最小值及此時a的值．

Answer 1

分析：（1）由條件可知ab=8，即b=

8

a

結合b≥2 可求a的范圍，而S（a）=（32-2a）（18-b）=(32-2a)(18-

8

a

)=592-4（9a+

64

a

），
（2）利用基本不等式可求解9a+

64

a

的最小值，進而可求S的最大值
（3）結合函數的性質可知，當a=4時可得S（a）有最小值384m²

解答：解：（1）由條件可知ab=8，即b=

8

a

∵b≥2∴b=

8

a

≥2，則a≤4∵a≥2
∴2≤a≤4
S（a）=（32-2a）（18-b）=(32-2a)(18-

8

a

)=592-4（9a+

64

a

）
（2）∵9a+

64

a

≥2

9a• 64 a

=48
當且僅當9a=

64

a

即a=

8

3

時取等號，S（a）取得最大值400m²
（3）當a=4時S（a）有最小值384m²

點評：本題主要考查了利用基本不等式在求解實際問題中的最值的求解，解題的關鍵是要把數學問題轉化為數學問題進行求解．