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已知橢圓E的長軸是短軸的2倍，且經過點（1，0）

   （1）求橢圓E的標準方程；

   （2）若過點M（0，1）的直線l交橢圓E（取焦點在y軸上的橢圓）于點A、B，點P是線段AB的中點，當l繞點M旋轉時，求動點P的軌跡方程.

解：（1）設所求橢圓的標準方程為：

由已知得a=2b,且過點（１，０）

   （2）解法一：直線l過點M（0，1）設其斜率為k，則l的方程為

記、由題設可得點A、B的坐標、是方程組

②
 

①
 
                 的解.

將①代入②并化簡得，，所以

于是

設點P的坐標為則

消去參數k得     ③

當k不存在時，A、B中點為坐標原點（0，0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方

程為

解法二：設點P的坐標為，因、在橢圓上，所以

  ④               ⑤

④―⑤得，所以

當時，有      ⑥

并且    ⑦   將⑦代入⑥并整理得     ⑧

當時，點A、B的坐標為（0，2）、（0，－2），

這時點P的坐標為（0，0）也滿足⑧，

所以點P的軌跡方程為

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓E的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，長軸是短軸的2倍，且橢圓E過點(
2
，
2
2
)；斜率為k（k＞0）的直線l過點A（0，2），
n
為直線l的一個法向量，坐標平面上的點B滿足條件|
n
•
AB
|=|
n
|．
（1）寫出橢圓E方程，并求點B到直線l的距離；
（2）若橢圓E上恰好存在3個這樣的點B，求k的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為
3
2
，點A，B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O到直線AB的距離為
6
5
5
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知點E（3，0），設點P、Q是橢圓C上的兩個動點，滿足EP⊥EQ，求
EP
•
QP
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知中心在原點O、焦點在x軸上的橢圓C的離心率為
3
2
，點A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O到直線AB的距離為
6
5
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點E（3，0），設點P、Q是橢圓C上的兩個動點，滿足EP⊥EQ，求
EP
•
QP
的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個焦點為F（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點．
（1）試證：若a，b，c不是等比數列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）沒E為黃金橢圓，問：是否存在過點F、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足
RP
=-2
PF
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由；
（3）已知橢圓E的短軸長是2，點S（0，2），求使
SP
2取最大值時點P的坐標．

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