Question

【題目】“我將來要當一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一塊麥田里玩，幾千萬的小孩子，附近沒有一個大人，我是說……除了我”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田.假設霍爾頓在一塊成凸四邊形的麥田里成為守望者，如圖所示，為了分割麥田，他將連接，設中邊所對的角為，中邊所對的角為，經測量已知，.

（1）霍爾頓發現無論多長，為一個定值，請你驗證霍爾頓的結論，并求出這個定值；

（2）霍爾頓發現麥田的生長于土地面積的平方呈正相關，記與的面積分別為和，為了更好地規劃麥田，請你幫助霍爾頓求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在和中分別對使用余弦定理，可推出與的關系，即可得出是一個定值；

（2）求出的表達式，利用二次函數的基本性質以及余弦函數值的取范圍，可得出的最大值.

（1）在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，，

則，；

（2），，

則，

由（1）知：，代入上式得：

，

配方得：，

當時，取到最大值.