Question

如圖所示,在直角坐標系xOy中,點P到拋物線C:y2=2px(p>0)的準線的距離為.點M(t,1)是C上的定點,A,B是C上的兩動點,且線段AB被直線OM平分.

(1)求p,t的值;

(2)求△ABP面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)

【解析】

解:(1)由題意知得

(2)由(1)知M(1,1),

直線OM的方程為y=x,

設A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為Q(m,m).

由題意知,

設直線AB的斜率為k(k≠0).

由

得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,

故k·2m=1,

所以直線AB的方程為y-m=(x-m),

即x-2my+2m2-m=0.

由消去x,

整理得y2-2my+2m2-m=0,

所以Δ=4m-4m2>0,

y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.

從而|AB|=·|y1-y2|=·.

設點P到直線AB的距離為d,

則d=.

設△ABP的面積為S,則

S=|AB|·d=|1-2(m-m2)|·.

由Δ=4m-4m2>0,得0<m<1.

令u=,0<u≤,則S=u(1-2u2).

設S(u)=u(1-2u2),0<u≤,則S′(u)=1-6u2.

由S′(u)=0,得u=∈,

因此S(u)在單調遞增,在單調遞減,

所以S(u)max=S=.

故△ABP面積的最大值為.