Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn=2n2 ， {bn}為等比數列，且a1=b1 ， b2（a2﹣a1）=b1 ．
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）設cn= ，求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，a1=S1=2；當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣2（n﹣1）2=4n﹣2，

故{an}的通項公式為an=4n﹣2，即{an}是a1=2，公差d=4的等差數列．

設{bn}的公比為q，則b1qd=b1，d=4，∴q= ．

故bn=b1qn﹣1=2× ，即{bn}的通項公式為bn= ．

（2）解：∵cn= = =（2n﹣1）4n﹣1，

Tn=c1+c2+…+cn

Tn=1+3×41+5×42+…+（2n﹣1）4n﹣1

4Tn=1×4+3×42+5×43+…+（2n﹣3）4n﹣1+（2n﹣1）4n

兩式相減得，3Tn=﹣1﹣2（41+42+43+…+4n﹣1）+（2n﹣1）4n= [（6n﹣5）4n+5]

∴Tn= [（6n﹣5）4n+5]

【解析】（1）由已知利用遞推公式 可得an ， 代入分別可求數列bn的首項b1 ， 公比q，從而可求bn（2）由（1）可得cn=（2n﹣1）4n﹣1 ， 利用乘“公比”錯位相減求和．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等差數列的通項公式（及其變式）(通項公式：或)，還要掌握數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)的相關知識才是答題的關鍵．