Question

設函數f（x）=ax•lnx（a＞0）．
（Ⅰ）當a=2時，判斷函數g（x）=f（x）-4（x-1）的零點的個數，并且說明理由；
（Ⅱ）若對所有x≥1，都有f（x）≤x²-1，求正數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=2代入寫出函數g（x）的解析式后求導數，然后判斷出函數g（x）的單調性后再由函數g（x）的最小值小于0可求出函數的零點的個數．
（2）先令F（x）=f（x）-（x²-1），在對函數F（x）求導，通過判斷函數的單調性來解題．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，g（x）=f（x）-4（x-1）=2xlnx-4x+4的定義域是（0，+∞）求導，得g′(x)=2(lnx-1)

＜0，0＜x＜e =0，x=e ＞0，x＞e

所以，g（x）在（0，e）上為減函數，在（e，+∞）上為增函數，g（x）_min=g（e）=2（2-e）＜0．
又g（1）=0，根據g（x）在（0，e）上為減函數，
則g（x）在（0，e）上恰有一個零點；
又g（e²）=4＞0，則g（e）g（e²）＜0，
所以g（x）在（e，e²）上恰有一個零點，
再根據g（x）在（e，+∞）上為增函數，g（x）在（e，+∞）上恰有一個零點．
綜上所述，函數g（x）=f（x）-4（x-1）的零點的個數為2．
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-（x²-1）=axlnx-x²+1（a＞0，x≥1），
求導，再令G（x）=F'（x）=a（lnx+1）-2x，
則G′(x)=

a

x

-2
（ⅰ）若0＜a≤2，當x≥1時，G′(x)=

a

x

-2≤0，
故G（x）在[1，+∞）上為減函數，
所以當x≥1時，G（x）≤G（1）=a-2≤0，即F'（x）≤0，
則F（x）在[1，+∞）上為減函數，
所以當x≥1時，F（x）≤F（1）=0，即f（x）≤x²-1成立；
（ⅱ）若a＞2，方程G'（x）=0的解為x=

a

2

＞1，
則當1≤x≤

a

2

時，G′(x)=

a

x

-2≥0，
故G（x）在[1，

a

2

]上為增函數，
所以當1≤x≤

a

2

時，G（x）≥G（1）=a-2＞0，即F'（x）＞0，
則F（x）在[1，

a

2

]上為增函數，
所以當1＜x＜

a

2

時，F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞x²-1成立，此時不合題意．
綜上，滿足條件的正數a的取值范圍是（0，2]．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．