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已知AB、CD是夾在兩個平行平面α、β之間的線段，M、N分別為AB、CD的中點，求證：MN∥平面α．

答案：
解析：

　　證明：(1)若AB、CD在同一平面內，則平面ABDC與α、β的交線為AC、BD．

　　∵α∥β，∴AC∥BD．

　　又M、N為AB、CD的中點，∴MN∥BD．

　　又BD平面α，∴MN∥平面α．

　　(2)若AB、CD異面，如圖，過A作AE∥CD交α于E，取AE的中點P，連結MP、PN、BE、ED．

　　∵AE∥CD，∴AE、CD確定平面AEDC．

　　則平面AEDC與α、β的交線為ED、AC，

　　∵α∥β，∴AC∥ED．

　　又P、N為AE、CD的中點，

　　∴PN∥ED．∴PN∥α．

　　同理可證MP∥BE．

　　∴MP∥α．∴平面MPN∥α．

　　又MN平面MPN，∴MN∥α．


提示：

分AB、CD是否共面兩種情況．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

下面給出五個命題：
①已知平面α∥平面β，AB，CD是夾在α，β間的線段，若AB∥CD，則AB=CD；
②a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c一定是異面直線；
③三棱錐的四個面可以都是直角三角形．
④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，則PQ⊆α；
⑤三棱錐中若有兩組對棱互相垂直，則第三組對棱也一定互相垂直；
其中正確的命題編號是
①③④⑤
①③④⑤
（寫出所有正確命題的編號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

下面給出的幾個命題中：
①若平面α∥平面β，AB，CD是夾在α，β間的線段，若AB∥CD，則AB=CD；
②a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c一定是異面直線；
③過空間任一點，可以做兩條直線和已知平面α垂直；
④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，則PQ?α；
⑤若點P到三角形三個頂點的距離相等，則點P在該三角形所在平面內的射影是該三角形的外心；
⑥a，b是兩條異面直線，P為空間一點，過P總可以作一個平面與a，b之一垂直，與另一個平行．
其中正確的命題是
①④⑤
①④⑤
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知平面α∥平面β，AB、CD是夾在平面α和平面β間的兩條線段，點E、F分別在AB、CD上，且
AE
EB
=
CF
FD
=
m
n
．求證：EF∥α∥β．

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科目：高中數學 來源：高考總復習全解　數學　一輪復習·必修課程�。ㄈ私虒嶒灠妫版 人教實驗版　B版 題型：047

已知AB、CD是夾在兩個平行平面α、β之間的線段，M、N分別為AB、CD的中點，求證MN∥平面β．

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