Question

【題目】已知函數f(x)＝(2－a)lnx＋＋2ax.

(1)當a<0時，討論f(x)的單調性；

(2)若對任意的a∈(－3，－2)，x1，x2∈[1,3]，恒有(m＋ln 3)a－2ln 3>|f(x1)－f(x2)|成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) (－∞，－ ]．

【解析】試題分析：（1）對原函數求導，f′(x)＝，分a＝－2，－2<a<0，a<－2，三種情況討論導函數的正負，得原函數的單調性；（2）根據第一問知道當a∈(－3，－2)時，函數f(x)在區間[1,3]上單調遞減，故得到f(x)max＝f(1)＝1＋2a，f(x)min＝f(3)＝(2－a)ln 3＋＋6a，問題等價于am>－4a，m<－4，m≤(－4)min。

解析：

(1)求導可得f′(x)＝－＋2a＝，

令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－，

當a＝－2時，f′(x)≤0，函數f(x)在定義域(0，＋∞)內單調遞減；

當－2<a<0時，在區間(0， )，(－，＋∞)上f′(x)<0，f(x)單調遞減，在區間(，－ )上f′(x)>0，f(x)單調遞增；

當a<－2時，在區間(0，－ )，(，＋∞)上f′(x)<0，f(x)單調遞減，在區間(－， )上f′(x)>0，f(x)單調遞增．

(2)由(1)知當a∈(－3，－2)時，函數f(x)在區間[1,3]上單調遞減，

所以當x∈[1,3]時，f(x)max＝f(1)＝1＋2a，f(x)min＝f(3)＝(2－a)ln 3＋＋6a.

問題等價于：對任意的a∈(－3，－2)，恒有(m＋ln 3)a－2ln 3>1＋2a－(2－a)ln 3－－6a成立，即am>－4a，

因為a<0，所以m<－4，

因為a∈(－3，－2)，

所以只需m≤(－4)min，

所以實數m的取值范圍為(－∞，－ ]．