Question

【題目】將棋盤的每個方格都隨意染黑白兩色之一，每次操作是將其中同行、同列、同對角線的連續五個方格改變成相反的顏色.試問：能否經過有限次操作，使得所有方格的顏色都變成與原先相反的顏色？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

當時，目標可以實現；當時，目標不可以實現.

（1）如果，可由5是質數，不妨設，則棋盤可劃分為若干個的矩形，對每一個的矩形操作一次即可.

（2）如果，可設，（、）.

將棋盤的方格用1、2、3、4、5編號，使每一行每一列的數都構成周期為5的周期數列，其左上角棋盤的編號如圖.

因為圖中每行、每列的數都是以5為周期的周期數列，所以，同行、同列、同對角線的連續5個數都恰好包含1、2、3、4、5各1個.故每次操作都使每一類編號的方格中恰有一個方格改變了一次顏色.

用表示編號為的方格顏色改變的次數和（），則每次操作，各同時增加1，于是，操作中恒有.

若所有方格的顏色都變成與原先顏色相反，則每個方格顏色改變的次數為奇數.

考察棋盤左上角子棋盤的編號，對任何、（、），在子棋盤中一定存在一個編號與一個編號（、），使得出現的次數比出現的次數多一次（逐一驗證子棋盤即可）.

去掉此子棋盤，則棋盤的剩余部分各編號出現的次數相等.于是，整個棋盤中編號、的個數一個為奇數、一個為偶數.由于每個方格都改變奇數次顏色，從而，、一個為奇數個奇數的和、一個為偶數個奇數的和，也即、一為奇數、一為偶數.于是，，矛盾.

故不可能所有方格的顏色都變成與原先相反的顏色.