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如圖，以橢圓的中心為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內的點．連結交小圓于點．設直線是小圓的切線．

（1）證明，并求直線與軸的交點的坐標；

（2）設直線交橢圓于、兩點，證明．

本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、平面向量、曲線和方程的關系等解析幾何的基礎知識和基本思想方法，考查推理及運算能力.

(Ⅰ)證明：由題設條件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，故

即.

因此，。

解：在Rt△OFA中，

于是，直線OA的斜率.設直線BF的斜率為k，則

這時，直線BF的方程為（x－c），令x=0，則

所以直線BF與y軸的交點為M（0，a）.

(Ⅱ)證明：由（Ⅰ），得直線BF的方程為y=kx+a，且

         ②

由已知，設P（x1,y1）、Q（x2,y2）,則它們的坐標滿足方程組

               ③

由方程組③消去y，并整理得

.     ④

由①、②和④，

 

由方程組③消去x，并整理得

  ⑤

由式②和⑤，

 

綜上，得到

。

注意到,得

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，設△OEP的面積為S，已知
OF
• 
FP
=1．
（1）若
1
2
＜S＜
3
2
，求向量
OF
與
FP
 的夾角θ的取值范圍；
（2）若S=
3
4
|
OF
|，且|
OF
|≥2，當|
OP
|取最小值時，建立適當的直角坐標系，求以O為中心，F為一個焦點且經過點P的橢圓方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（06年天津卷理）（14分）

如圖，以橢圓的中心O為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內的點A。連結OA交小圓于點B。設直線BF是小圓的切線。

  

（I）證明并求直線BF與同的交點M的坐標；

（II）設直線BF交橢圓P、Q兩點，證明

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科目：高中數學 來源：2011年浙江省杭州市蕭山區高考數學模擬試卷05（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，以橢圓的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點F（c，0）（c＞b）作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內的點A．連接OA交小圓于點B．設直線BF是小圓的切線．
（1）求證c2=ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；
（2）設直線BF交橢圓于P、Q兩點，求證•=b2．

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科目：高中數學 來源：2006年天津市高考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，以橢圓的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點F（c，0）（c＞b）作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內的點A．連接OA交小圓于點B．設直線BF是小圓的切線．
（1）求證c2=ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；
（2）設直線BF交橢圓于P、Q兩點，求證•=b2．

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