Question

如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，點E是SD上的點，且

（Ⅰ）求證：對任意的，都有

（Ⅱ）設二面角C—AE—D的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，求的值.

Answer 1

解析:

（Ⅰ）證法1：如圖1，連接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。

  SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE

（Ⅱ）解法1：如圖1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= ,

  SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD, SD⊥CD。

 又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SD AD=D，CD⊥平面SAD.

連接AE、CE，過點D在平面SAD內作DE⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE，

故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=。

在Rt△BDE中，BD=2a，DE=

在Rt△ADE中,

從而

在中，.

由，得.

由，解得，即為所求.

（I）                                證法2：以D為原點，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如

     圖2所示的空間直角坐標系，則

     D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0），

    

     ，

     即。

（II）                  解法2：

由（I）得.

設平面ACE的法向量為n=(x，y，z)，則由得

。

       易知平面ABCD與平面ADE的一個法向量分別為.

         .

          0<，，

          .

          由于，解得，即為所求。