Question

正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B

（Ⅰ）試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（Ⅱ）求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅲ）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論．

Answer 1

分析：法一（1）要證明線面平行，關鍵是在平面內找到一條可能與已知直線平行的直線，觀察到平面BEF中三條已知直線中，EF可能與AB平行，故可以以此為切入點進行證明．
（2）要求二面角的余弦，要先構造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出這個平面角的余弦值，進而給出二面角的余弦值．
（3）線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據．垂直問題的證明，其一般規律是“由已知想性質，由求證想判定”，也就是說，根據已知條件去思考有關的性質定理；根據要求證的結論去思考有關的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結合起來．
法二，根據題意，構造空間直角坐標系，求出各點的坐標，進行求出相應直線的方向向量和平面的法向量，利用向量法進行求解（1）利用直線的方向向量與平面的法向量之間的關系，判斷線面關系，
（2）通過求兩個平面法向量的夾角求二面角．

解答：解：法一：（I）如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，得EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF．∴AB∥平面DEF．
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角
∴AD⊥BD∴AD⊥平面BCD
取CD的中點M，這時EM∥AD∴EM⊥平面BCD
過M作MN⊥DF于點N，連接EN，則EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角
在Rt△EMN中，EM=1，MN=

3

2

∴tan∠MNE=

3

2

，cos∠MNE=y=-

3

x+2

3

．

（Ⅲ）在線段BC上存在點P，使AP⊥DE
證明如下：在線段BC上取點P．使BP=

1

3

BC，過P作PQ⊥CD與點Q，
∴PQ⊥平面ACD∵DQ=

1

3

DC=

2 3

3

在等邊△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．

法二：（Ⅱ）以點D為坐標原點，直線DB、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，2

3

，0，)，E(0，

3

，1)，F(1，

3

，0)
平面CDF的法向量為

DA

=(0，0，2)設平面EDF的法向量為

n

=(x，y，z)
則

DF • n =0 DE • n =0

即

x+ 3 y=0 3 y+z=0

取

n

=(3，-

3

，3)cos＜

DA

，

n

＞=

DA • n

| DA || n |

=

21

7

所以二面角E-DF-C的余弦值為

21

7

（Ⅲ）在平面坐標系xDy中，直線BC的方程為y=-

3

x+2

3

設P(x，2

3

-

3

x，0)，則

AP

=(x，2

3

-

3

x，-2)
∴AP⊥DE?

AP

•

DE

=0?x=

4

3

?

BP

=

1

3

BC

所以在線段BC上存在點P，使AP⊥DE
另解：設P(x，y，0)，則

AP

•

DE

=

3

y-2=0∴y=

2 3

3

又

BP

=(x-2，y，0)，

PC

=(-x，2

3

-y，0)
∵

BP

∥

PC

∴(x-2)(2

3

-y)=-xy∴

3

x+y=2

3

把y=

2 3

3

代入上式得x=

4

3

，
∴

BP

=

1

3

BC

所以在線段BC上存在點P使AP⊥DE

點評：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性質定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性質（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據．垂直問題的證明，其一般規律是“由已知想性質，由求證想判定”，也就是說，根據已知條件去思考有關的性質定理；根據要求證的結論去思考有關的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結合起來．本題也可以用空間向量來解決，其步驟是：建立空間直角坐標系?明確相關點的坐標?明確相關向量的坐標?通過空間向量的坐標運算求解．