Question

（2013•文昌模擬）選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線C的極坐標方程是ρ=1，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程

x=1+ t 2 y=2+ 3 2 t

(t為參數)．
（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；
（2）設曲線C經過伸縮變換

x′=3x y′=y

得到曲線C′，設曲線C′上任一點為M（x，y），求x+2

3

y的最小值．

Answer 1

分析：（1）由極坐標下的方程化為普通方程的公式即可將ρ=1化為普通方程；把直線l的參數方程中的參數消去即可得到直線l的普通方程．
（2）根據得到的曲線C'方程，利用三角代換即可把求x+2

3

y的最小值轉化為求三角函數類型的最值問題．

解答：解：（1）設點P（x，y）是曲線C上的任意一點，由ρ=

x2+y2

，ρ=1，可得x²+y²=1即為曲線C的直角坐標方程．
又已知直線l的參數方程

x=1+ t 2             ① y=2+ 3 2 t           ②

  
由①可得t=2x-2，代入②得 y=2+

3

2

(2x-2)，整理為 y-2=

3

(x-1)即為直線l的普通方程．
（2）把

x′=3x y′=y

 變為

x= x′ 3 y=y′

 將其代入曲線C的方程得(

x′

3

)2+(y′)2=1，即得到曲線C'的方程為

x′2

9

+y′2=1．
設曲線C'上任一點為M（x，y），代入曲線C′的方程得

x2

9

+y2=1，
令

x=3cosθ y=sinθ

，則x+2

3

y=3cosθ+2

3

sinθ=

21

sin（θ+φ），∵-1≤sin（θ+φ）≤1．
∴x+2

3

y的最小值是-

21

．

點評：本題考查的是將極坐標方程及參數方程化為直角坐標系下的普通方程，及用參數法求代數式的最值．