Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓Γ： =1，A為Γ的上頂點，P為Γ上異于上、下頂點的動點，M為x正半軸上的動點．
（1）若P在第一象限，且|OP|= ，求P的坐標；
（2）設P（ ），若以A、P、M為頂點的三角形是直角三角形，求M的橫坐標；
（3）若|MA|=|MP|，直線AQ與Γ交于另一點C，且 ， ，求直線AQ的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設P（x，y）（x＞0，y＞0），

∵橢圓Γ： =1，A為Γ的上頂點，

P為Γ上異于上、下頂點的動點，

P在第一象限，且|OP|= ，

∴聯立 ，

解得P（ ， ）

（2）解：設M（x0，0），A（0，1），

P（ ），

若∠P=90°，則 ，即（x0﹣ ，﹣ ）（﹣ ， ）=0，

∴（﹣ ）x0+ ﹣ =0，解得x0= ．

如圖，若∠M=90°，則 =0，即（﹣x0，1）（ ﹣x0， ）=0，

∴ =0，解得x0=1或x0= ，

若∠A=90°，則M點在x軸負半軸，不合題意．

∴點M的橫坐標為 ，或1，或

（3）解：設C（2cosα，sinα），

∵ ，A（0，1），

∴Q（4cosα，2sinα﹣1），

又設P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），

∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，

整理得：x0= cosβ，

∵ =（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1）， =（﹣ cosβ，﹣sinβ）， ，

∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，

且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，

∴cosβ=﹣ cosα，且sinα= （1﹣2sinα），

以上兩式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα= ，或sinα=﹣1（舍去），

此時，直線AC的斜率kAC=﹣ = （負值已舍去），如圖．

∴直線AQ為y= x+1．

【解析】（1）設P（x，y）（x＞0，y＞0），聯立 ，能求出P點坐標．（2）設M（x0，0），A（0，1），P（ ），由∠P=90°，求出x0= ；由∠M=90°，求出x0=1或x0= ；由∠A=90°，則M點在x軸負半軸，不合題意．由此能求出點M的橫坐標．（3）設C（2cosα，sinα），推導出Q（4cosα，2sinα﹣1），設P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推導出x0= cosβ，從而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣ cosα，且sinα= （1﹣2sinα），由此能求出直線AQ．