Question

（本小題滿分13分）已知函數（其中且為常數）的圖像經過點A、B．是函數圖像上的點，是正半軸上的點．

(1) 求的解析式；

(2) 設為坐標原點，是一系列正三角形，記它們的邊長是，求數列的通項公式；

(3) 在(2)的條件下，數列滿足，記的前項和為，證明：。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3），所以

.，兩式相減得：，整理得：.

【解析】

試題分析：（1）.

（2）由.

由 

將代人，由此原問題轉化為:

“已知且，求”.

又，兩式相減可得：

又，因為，所以, 

從而是以為首項，為公差的等差數列，即.

(3) ，所以

.

兩式相減得：

整理得：.

考點：等差數列的性質；數列通項公式的求法；數列前n項和的求法。

點評：錯位相減法是一種常用的數列求和方法，應用于等比數列與等差數列相乘的形式。 形如A_n=B_nC_n，其中B_n為等差數列，C_n為等比數列；分別列出S_n，再把所有式子同時乘以等比數列的公比，即qS_n；然后錯一位，兩式相減即可。