Question

.函數f（x）=

x2-x4

|x-2|-2

．給出函數f（x）下列性質：（1）f（x）的定義域和值域均為[-1，1]；（2）f（x）是奇函數；（3）函數在定義域上單調遞增；（4）函數f（x）有兩零點；（5）A、B為函數f（x）圖象上任意不同兩點，則

2

＜|AB|≤2．則函數f（x）有關性質中正確描述的個數是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：求出函數的定義域，化簡函數的解析式，作出函數圖象，根據函數的圖象判斷所給性質的正誤．

解答：解：∵

x2-x4≥0 |x-2|-2≠0

∴函數定義域為

x|

-1≤x＜0或0＜x≤1，}
∴f(x)=

x2(1-x2)

-(x-2)-2

=

|x| 1-x2

-x

=

- 1-x2         0＜x≤1 1-x2           -1≤x＜0

作出函數圖象，如圖所示
由圖象可知函數定義域為[-1，0）∪（0，1]，值域為（-1，1）故（1）不正確；
∵函數定義域關于原點對稱且
f(-x)=

|-x| 1-(-x)2

-(-x)

=

|x| 1-x2

x

=-f(x)
∴函數f（x）為奇函數，故（2）正確；
由圖象可知函數在[-1，0）上為單調增函數，在（0，1]上也是單調增函數，但在定義域上不是增函數，如-1＜1，但f（-1）＞f（1）．故（3）不正確；
由圖象可知函數的零點為x=-1，x=1，故（4）正確；
由圖象可知圖象為兩個四分之一個圓弧構成，且半徑為1，最大為AB連線過原點時最大為2，最小為

2

，但取不到．
故（5）正確．
故選C．

點評：本題主要考查了函數的性質、函數的圖象，并利用函數的圖象研究函數的性質，體現了數形結合在數學解題中的應用．