Question

已知函數，（）

（1）若函數存在極值點，求實數b的取值范圍；

（2）求函數的單調區間；

（3）當且時，令，()，()為曲線y=上的兩動點，O為坐標原點，能否使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上？請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當時，，函數的單調遞增區間為；

當時，，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為。

（3）對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ），若存在極值點，則有兩個不相等實數根。所以，              2分

解得               3分

(Ⅱ)               4分

當時，，函數的單調遞增區間為；       5分

當時，，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為。

7分

（Ⅲ） 當且時，假設使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上。則且。     8分

不妨設。故，則。，該方程有解          9分

當時，則，代入方程得即，而此方程無實數解；              10分

當時，則；         11分

當時，則，代入方程得即，               12分

設，則在上恒成立。在上單調遞增，從而，則值域為。

當時，方程有解，即方程有解。     13分

綜上所述，對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上。           14分

考點：導數的運用

點評：主要是考查了導數在研究函數單調性以及函數與方程思想的綜合運用，屬于中檔題。