Question

已知圓C:.

(1)直線過點P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點，若，求直線的方程；

(2)過圓C上一動點M作平行于y軸的直線m，設直線m與x軸的交點為N，若向量，求動點的軌跡方程；

 (3) 若點R(1,0)，在（2）的條件下，求的最小值及相應的點坐標.

 

Answer 1

【答案】

（1）3x-4y+5=0或x=1 ；(2) 點的軌跡方程是  () ；

（3）Q的坐標為 。

【解析】(1)分別討論直線l的斜率存在和不存在兩種情況.當斜率不存在時，可根據點到直線的距離公式再結合的圓的弦長公式可求出斜率k值.進而求出直線l的方程.

(2)本小題屬于相關點法求動點的軌跡方程，先設出Q點坐標為(x,y), 點M的坐標為(),然后根據,用x,y表示,再根據點M在圓上，可得到動點Q的軌跡方程.

(3)設Q坐標為(x,y),得,再利用點Q的軌跡方程，消去y轉化為關于x的一元二次函數來確定其最值，要注意x的取值范圍.

（1）①當直線垂直于軸時，則此時直線方程為，與圓的兩個交點坐標為

和，其距離為，滿足題意                            ………1分

②若直線不垂直于軸，設其方程為，即 ………2分

設圓心到此直線的距離為，則，得∴，…4分

故所求直線方程為3x-4y+5=0   

綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1                           ……………5分

(2)設點M的坐標為(,)，Q點坐標為(x,y)則N點坐標是(,0)

  ∵，∴  即，    ………7分

又∵，∴                     …………9分

由已知，直線m //y軸，所以，,

∴點的軌跡方程是  ()                ……………10分

（3）設Q坐標為(x,y)，， ， …………11分

又  ()可得：

.         ………………13分

      

此時Q的坐標為  …………14分