Question

如果過曲線C₁：y=x²-1上一點P的切線l與曲線C2：x2+

y2

4

=1相交所得弦為AB．
（1）證明：弦AB（2）的中點在一條定直線l₀上；
（2）與l平行的直線與曲線C₁交于E，F兩點，過點P且平行于（1）中的直線l₀的直線與曲線C₁的另一交點為Q，且∠EQP=

π

4

，試判斷△EQF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設點P（t，t²-1），因為對曲線C₁而言，所以l的斜率為y'|_x=t=2t，直線l的方程為y=2tx-（t²+1）．由

y=2tx-(t2+1) x2+ y2 4 =1

，得4（1+t²）x²-4t（1+t²）x+（1-t²）（3+t²）=0．再由根的判別式和韋達定理能夠證明弦AB的中點在一條定直線l₀：y=-1上．
（2）由P，Q兩點關于y軸對稱，知Q（-t，t²-1）．設EF的方程為y=2tx+b，代入y=x²-1得x²-2tx-b-1=0．設E（x_E，x_E²-1），F（x_F，x_F²-1），則x_E+x_F=2t，因為kQF=

( x 2 F -1)-(t2-1)

xF+t

=xF-t，同理k_QF=x_E-t．所以k_QF+k_QE=（x_E+x_F）-2t=0．由此能夠判斷△EQF為直角三角形．

解答：解：（1）設點P（t，t²-1）
因為對曲線C₁而言，所以l的斜率為y'|_x=t=2t，直線l的方程為y=2tx-（t²+1）．
由

y=2tx-(t2+1) x2+ y2 4 =1

，得4（1+t²）x²-4t（1+t²）x+（1-t²）（3+t²）=0．
由△=-16（1+t²）（t²-3）＞0得-

3

＜t＜

3

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為（x₀，y₀），則x₁+x₂=t，y₁+y₂=2t（x₁+x₂）-2（t²+1）=-2，
從而y₀=-1．
所以弦AB的中點在一條定直線l₀：y=-1上．…（7分）
（2）由（1）知，P，Q兩點關于y軸對稱，所以Q（-t，t²-1）．
設EF的方程為y=2tx+b，代入y=x²-1得x²-2tx-b-1=0．設E（x_E，x_E²-1），F（x_F，x_F²-1），則x_E+x_F=2t，因為kQF=

( x 2 F -1)-(t2-1)

xF+t

=xF-t，
同理k_QF=x_E-t．所以k_QF+k_QE=（x_E+x_F）-2t=0．
若點F在直線PQ下方，則直線PQ平分∠EQF．因為∠EQP=

π

4

，所以∠EQF=

π

2

，即△EQF為直角三角形；若點F在直線PQ上方，設M為線段PQ左邊延長線上一點，則∠FQM=∠EQP=

π

4

，結論仍然成立．…（15分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，具有一定的難度，運算量大，解題繁瑣，答題時要認真審題，合理地進行等價轉化．