Question

已知函數f（x）=-

3

sinxcosx+3cos²x-

1

2

，x∈R
（1）將f（x）表示成Asin（2x+φ）+B的形式（其中A＞0，0＜φ＜2π）
（2）將y=f（x）的圖象按向量

a

平移后，所得到的圖象關于原點對稱，求使|

a

|得最小的向量

a

．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和的正弦函數，化簡函數f（x）=-

3

sinxcosx+3cos²x-

1

2

，為函數f（x）=

3

sin（2x+

2π

3

）+1；
（2）平移后的函數關于原點對稱，得到f（x）=

3

sin2x，求出使|

a

|得最小的向量

a

即可．

解答：解：（1）函數f（x）=-

3

sinxcosx+3cos²x-

1

2

=

3

•

1

2

sin2x+3•

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）+1
   即：f（x）=

3

sin（2x+

2π

3

）+1，
（2）設

a

=(a，b)，所以將y=f（x）的圖象按向量

a

平移后，得到函數f（x）=

3

sin（2x+2a+

2π

3

）+1+b，所得到的圖象關于原點對稱，就是得到函數f（x）=

3

sin2x，|

a

|得最小，所以a=

π

6

，b=-1
滿足題意的

a

為：(

π

6

，-1)．

點評：本題是基礎題，考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數的奇偶性，圖象的平移，三角函數的化簡，化簡是基礎，是解題的關鍵，否則兩問都出問題．