Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）若恒成立，證明：當時，．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

試題分析：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值、等價轉化、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．（I）利用導數的運算法則可得，對分類討論即可得出其單調性；（II）通過對分類討論，得到當，滿足條件且（當且僅當x=1時取“=”）．利用此結論即可證明．

試題解析: 解：（Ⅰ）求導得

若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增；

若a＞0，當x∈（0，）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；

當x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

若a≤0，f（x）在（0，+∞）上遞增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立

若a＞2，當x∈（，1）時，f（x）遞減，f（x）＞f（1）=0，不合題意

若0＜a＜2，當x∈（1，）時，f（x）遞增，f（x）＞f（1）=0，不合題意

若a=2，f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，

f（x）≤f（1）=0，合題意

故a=2，且lnx≤x﹣1（當且僅當x=1時取“=”）．

當0＜x1＜x2時，f（x2）﹣f（x1）=2ln﹣2（x2﹣x1）

＜2（﹣1）﹣2（x2﹣x1）=2（﹣1）（x2﹣x1），

∴．