Question

【題目】某地擬建造一座大型體育館，其設計方案側面的外輪廓如圖所示，曲線是以點為圓心的圓的一部分，其中；曲線是拋物線的一部分；，且恰好等于圓的半徑.假定擬建體育館的高（單位：米，下同）.

（1）若，，求、的長度；

（2）若要求體育館側面的最大寬度不超過米，求的取值范圍；

（3）若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）米.

【解析】

（1）由可求出的長，在拋物線方程中，令，可求出的長，在圓的方程中，令，可求出的長，相加即可得出的長；

（2）問題轉化為恒成立，根據基本不等式解出即可；

（3）先求得，在圓的方程中，令，可得出，從而得出，令，將問題轉化為求函數在上的最大值.

法一：令，，利用三角函數知識可求出的最大值；

法二：令，，將問題轉化為已知，求的最大值，利用數形結合思想可求出的最大值.

（1）因為圓的半徑為，所以米，

在中令，得

在圓中，令得，

所以米；

（2）由圓的半徑為，得

在中，令，得，

由題意知對恒成立，所以恒成立.

當時，即當時，取得最小值，故，解得.

因此，實數的取值范圍是；

（3）當時，

又圓的方程為，令，得，

所以，從而

下求的最大值.

方法一：令，，

則，

其中是銳角，且，從而當時，取得最大值；

方法二：令，，則題意相當于：已知，求的最大值.

當直線與圓弧相切時，直線在軸上的截距最大，此時取最大值，且有，，解得，

因此，的最大值為

答：當米時，的最大值為米.