Question

已知a＞0，函數f（x）=ax²-x，g（x）=lnx，
（1）若a=

1

2

，求函數y=f（x）-2g（x）的極值，
（2）是否存在實數a，使得f（x）≥g（ax）成立？若存在，求出實數a的取值集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出y=f（x）-2g（x）的解析式，求出導函數的根，判斷導函數根左右的單調性，再根據極值的定義即可得；
（2）令h（x）=f（x）-g（ax）=ax²-x-ln（ax），則問題等價于h（x）_min≥0，h′（x）=

2ax2-x-1

x

，令p（x）=2ax²-x-1，△=1+8a＞0，設p（x）=0有兩不等根x₁，x₂，不妨令x₁＜0＜x₂，利用導數可求得h（x）_min=h（x₂）≥0；由p（x₂）=0可對h（x₂）進行變形，再構造函數，利用導數可判斷h（x₂）≤0，由此刻求得x₂=1，進而求得a值；

解答：解：（1）當a=

1

2

時，y=f（x）-2g（x）=

1

2

x²-x-2lnx，
y′=x-1-

2

x

=

(x+1)(x-2)

x

，
因為x＞0，所以當0＜x＜2時，y′＜0，當x＞2時，y′＞0，
所以函數y=f（x）-2g（x）在x=2處取得極小值f（2）-2g（2）=-ln4，
函數y=f（x）-2g（x）沒有極大值．
（2）令h（x）=f（x）-g（ax）=ax²-x-ln（ax），即h（x）_min≥0，
所以h′(x)=

2ax2-x-1

x

，令p（x）=2ax²-x-1，△=1+8a＞0，
所以p（x）=0有兩個不等根x₁，x₂，x₁ x₂=-

1

2a

＜0，不妨令x₁＜0＜x₂，
所以h（x）在（0，x₂）上遞減，在（x₂，+∞）上遞增，所以h（x₂）=a

x

2 2

-x2-ln(ax2)≥0成立，
因為p（x₂）=2ax22-x2-1=0，所以ax2=

1+x2

2x2

，所以h（x₂）=

1-x2

2

-ln

1+x2

2x2

≥0，
令k（x）=

1-x

2

-ln

1+x

2x

=

1-x

2

+ln2x-ln(1+x)，k′(x)=-

(x-1)(x2)

2x(x+1)

，
所以k（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
所以k（x₂）≤k（1）=0，又h（x₂）=

1-x2

2

-ln

1+x2

2x2

≥0，
所以x₂=1代入ax2=

1+x2

2x2

，得a=1，
所以a∈{1}．
故存在實數a的取值集合{1}，使得f（x）≥g（ax）成立．

點評：本題考查了利用導數研究函數的極值以及閉區間上函數的最值、函數恒成立問題，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力，根據問題恰當構造函數是解決該題目的關鍵，要認真領會．屬于難題．