Question

設函數，，F(x)＝xf(x)．

(Ⅰ)若函數y＝f(x)在x＝2處有極值，求實數m的值；

(Ⅱ)試討論方程的實數解的個數；

(Ⅲ)記函數y＝G(x)的導稱函數在區間(a，b)上的導函數為，若在(a，b)上＞0恒成立，則稱函數G(x)(a，b)上為“凹函數”．若存在實數m∈[－2，2]，使得函數F(x)在(a，b)上為“凹函數”，求b－a最大值．

Answer 1

答案：
解析：

本題主要考查函數、導數知識及其應用，考查運算求解能力及抽象概括能力，考查函數與方程、分類與整合、數形結合、化歸與轉化等思想方法． 　　　4分 　　(Ⅱ)(x)＝，(x)＝g(x)， 　　即，即． 　　令，則∵ 　　∴ 　　由圖知， 　　當時，(x)＝g(x)的實數解的個數為1 　　當時，(x)＝g(x)的實數解的個數為2 　　當時，(x)＝g(x)的實數解的個數為3 　　當時，(x)＝g(x)的實數解的個數為2 　　當時，(x)＝g(x)的實數解的個數為1 　　綜上所述，或，(x)＝g(x)的實數解的個數為1，當，(x)＝g(x)的實數解的個數為2，當F＇(x)＝g(x)的實數解的個數為1；　10分 　　(Ⅲ)(x)＝若存在實數m∈[－2，2]，使得函數F(x)在(a，b)上為“凹函數”，則在(a，b)上(x)＞0恒成立 　　(x)，的對稱軸為 　　的兩根為， 　　則， 　　m∈[－2，2] 　　的最大值為，故，從而b－a最大值為　12分