Question

如圖△為直角三角形，，以為直徑的圓交于點，點是邊的中點，連交圓于點．

（Ⅰ）求證：、、、四點共圓；
（Ⅱ）設，，求的長．

Answer 1

（1）（1）做出輔助線，首先證明兩個三角形全等，根據三角形三邊對應相等，得到兩個三角形全等，得到對應角相等，從而得到四邊形一對對角互補，即四點共圓．
（2）5

試題分析：（1）證明：連結OE，BE
∵AB為圓O直徑    ∴BE⊥AE
OB=OE      ∴∠BEO=∠OBE
Rt△BEC中    D為BC中點      ∴BD=DE   ∠BED=∠DBE
∠OED=∠BEO+∠BED=∠OBE+∠DBE=∠OBD=∠ABD=90°
∠OED+∠OBD=180°
∴O、B、D、E四點共圓               5分
（II）解：延長DO交圓于H， O、D分別為AB、AC中點
OD=AC=3      MH=AB=4    DM=1
由（I）OE⊥DE    E為圓上    ∴DE為圓O切線
DE²=DM·DH=1·（4+1）=5                 10分
點評：本題考查三角形全等，考查四點共圓，考查圓的切割線定理，是一個平面幾何的綜合題目，解題時注意分析要證明的結論與條件之間的關系