Question

直線與函數y=sinx（x∈[0，π]）的圖象相切于點A，且l∥OP，O為坐標原點，P為圖象的極大值點，與x軸交于點B，過切點A作x軸的垂線，垂足為C，則

BA

•

BC

=（　　）

• A．

  π2

  4

• B．

  π2-4

  4

• C．

  π

  2

• D．2

Answer 1

分析：直線l的斜率即為OP的斜率，即函數y=sinx在點A處的導數，得到 cosx₁=

2

π

，點斜式寫出AB直線的方程，
求出點B的橫坐標，由

BA

•

BC

=|

BA

|•|

BC

|•cos∠ABC=

BC

2=（x₁-x_B）² 求出結果．

解答：解：∵P（

π

2

，1），直線l的斜率即為OP的斜率

1-0

π 2 -0

=

2

π

．
設 A（x₁，y₁），由于函數y=sinx在點A處的導數即為直線l的斜率，
∴cosx₁=

2

π

，y₁=sinx₁=

1-(cosx1)2

=

π2-4

π

，
∴AB直線的方程為 y-y₁=

2

π

（x-x₁ ），令y=0 可得點B的橫坐標 x_B=x₁-

π

2

y₁，
由

BA

•

BC

=|

BA

|•|

BC

|•cos∠ABC=

BC

2=（x₁-x_B）² =(

π

2

y 1)2=

π2

4

×

π2-4

π2

=

π2-4

4

，
故選B．

點評：本題考查直線的斜率公式，函數的導數與斜率的關系，求直線的點斜式方程，以及兩個向量數量積的定義，
屬于中檔題．