Question

設a，b∈R，a²+2b²=6，則a+b的最小值是

 

．

Answer 1

分析：設a，b∈R，a²+2b²=6，此為一橢圓的方程，故求解此題可借助橢圓的參數方程轉化為三角函數，利用三角函數的有界性求最小值．

解答：解：a²+2b²=6，可變為

a2

6

+

b2

3

=1，
故可設a=

6

cosθ，b=

3

sinθ
則a+b=

6

cosθ+

3

sinθ=3（

6

3

cosθ+

3

3

sinθ）  θ∈[0，2π]
令tanα=

2

則a+b=3sin（θ+α）≥-3      θ∈[0，2π]
則a+b的最小值是-3．

點評：本題考查橢圓上一點的橫縱坐標和最小的問題，用參數方程將問題轉化為三角函數用三角函數的有界性求解是一個好辦法，本題也可以用線性規劃的知識求解，或者令t=a+b，與橢圓方程聯立，根據方程組有解消元后用判別式大于等于零建立關于t的不等式求出t的取值范圍，即得其最小值．